Kỳ thi Toán châu Á - Thái Bình Dương 2015 (APMOPS2015) vòng 2 dành cho học sinh lứa tuổi 12 được tổ chức tại Singapore từ 28/5 đến 30/5. Thí sinh phải giải 6 bài toán tự luận bằng tiếng Anh hoặc tiếng Trung. Mặc dù đội Việt Nam đạt thành tích cao nhất trong 6 lần dự thi với 6 huy chương vàng, nhưng không có em nào giải đúng đáp số bài toán số 6 khó nhất của đề thi.
Đề bài số 6 của APMOPS 2015 vòng 2 tại Singapore như sau:
Sử dụng tối đa 5 màu cho trước có thể tô được bao nhiêu cách khác nhau cho 6 mặt của hình lập phương với mỗi mặt chỉ được tô 1 màu và bất kỳ 2 mặt nào có chung cạnh đều được tô 2 màu khác nhau.
| Ảnh minh họa |
Sau khi đề thi được công bố, độc giả đã thử sức để giải đề thi trên và mỗi người đưa ra một đáp án khác nhau.
Một bạn học sinh đã đưa ra lời giải:
Giả sử lập phương có 6 mặt được xem như nhau - ta có 3 trường hợp:
---- Dùng hết 5 màu: chỉ duy nhất khi hai mặt đỉnh đáy cùng màu - 4 mặt bên có màu khác nhau:
+ Chọn màu cho đáy: 5
+ Chọn màu cho mặt bên: 4x3x2x1 = 24.
Nhưng vì mỗi bộ 4 màu ABCD có 8 trường hợp trùng nhau: ABCD BCDA CDAB DABC |DCBA CBAD BADC ADCB (lật ngược lập phương lại)
---->Có 5x24/8 = 15 trường hợp
----- Dùng đúng 4 màu:
Chọn hai màu kép từ 5 màu: có 10 cách
Chọn hai màu đơn từ 3 màu còn lại: có 3 cách
Mỗi bộ (2 kép + 2 đơn) tạo nên hai hình lập phương khác nhau --> có 60 cách
----- Dùng đúng 3 màu:
Chọn 3 màu từ 5 màu: có 10 cách
Với bộ ba màu A,B,C chỉ tạo được đúng 1 hình lập phương: Vì nếu đỉnh X có ba màu theo chiều kim đồng hồ A-B-C thì đỉnh X' đối diện sẽ có A-B-C ngược chiều kim đồng hồ ---->Có 10 trường hợp
---->Kết luận: có 15+60+10 = 85 trường hợp
60 cách là đáp án mà bạn Phan Lặng Yên đưa ra. Bạn Yên lập luận:
+ Chọn màu cho đáy: 5
+ Chọn màu cho mặt bên: 4x3x2x1 = 24.
Nhưng vì mỗi bộ 4 màu ABCD có 8 trường hợp trùng nhau:
ABCD BCDA CDAB DABC
DCBA CBAD BADC ADCB (lật ngược lập phương lại)
Nên chỉ có 5x24/8 = 15 trường hợp dùng hết 5 màu
- Dùng đúng ba màu: Chọn 3 trong 5 màu ta có 10 cách (không tính thứ tự)
Với bộ ba màu A,B,C chỉ tạo được đúng 1 hình lập phương: Vì nếu đỉnh X có ba màu theo chiều kim đồng hồ A-B-C thì đỉnh X' đối diện sẽ có A-B-C ngược chiều kim đồng hồ
- Dùng đúng 4 màu:
Chọn hai màu double từ 5 màu: có 10 cách
Chọn hai màu single từ 3 màu còn lại: có 3 cách
Mỗi bộ (hai double + 2 single) tạo nên hai hình lập phương khác nhau --> có 60 cách
Một bạn có nickname Vo Mãi đã giải theo tiểu học và đưa ra đáp án là 30.
Vì các màu và các mặt trên hình lập phương là có giá trị như nhau nên:
Thứ nhất chúng ta biết hình lục giác có 6 mặt nếu chọn một mặt làm góc thì sẽ có 4 mặt tiếp giáp và một mặt không tiếp giáp với mặt đó (mặt đối diện). Dẫn đến nói là tối đa năm màu nhưng thực chất nó phải đủ 5 màu mới có thể tô được các trường hợp nhỏ hơn 5 là bị loại.
Thứ hai, Với 5 màu mà phải tô giáp 6 mặt thì ít nhất phải có một màu tô 2 mặt (ở mặt gốc và mặt đối diện), Bởi lẻ bất kỳ mặt nào trong hình lập phương cũng chỉ có duy nhất một mặt đối diện. Nên cách chọn cho màu thứ 1 là 5.
Thứ ba, là xếp 4 màu cho 4 vị trí còn lại (giống như xếp 4 người khách vào một bàn ăn hình tròn...) Chúng ta phải cố định vị trí một màu lại. Tức lài, Màu thứ 2 cách chọn chỉ là 1. và màu thứ 3 thì cách chọn là 3, màu thứ tư các chọn còn lại 2, cuối cùng màu thứ 5 cách chọn chỉ còn lại 1.
Do đó, đáp án phải là: 5.1.3.2.1 = 30 cách tô.
Nhận xét về đề thi trên, mọi người đều cho rằng đề thi khó so với tư duy của các em. Nhiều bạn cho rằng mình trình độ đại học chưa chắc đã giải được đừng nói là học sinh dưới 12 tuổi.